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  CRPE Maths Numération



Les entiers naturels

 

Quantité discrète : Collection dont on peut séparer les entités en unités. Exemple : un sac de billes.
Quantité continue : on ne peut déceler d’unités. Exemple : un verre d’eau.

Suite numérique / Comptine : mots rangés dans un ordre pour dénombrer. Exemple : un, deux, trois. Ces mots sont nommés à l’oral mots-nombres. Le dernier mot prononcé est le nombre d’objets compris dans la collection.

Le nombre est défini par les aspects :
Cardinal : quantité d’éléments.
Ordinal : place dans la suite.

Successeur d’un nombre : N+1
Prédécesseur d’un nombre : N-1


Les systèmes de numération


Différence entre chiffre et nombre

Chiffre : Symboles du système de numération 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, on peut les comparer aux lettres.
Nombre : Les nombres sont écrits avec des chiffres, on peut les comparer aux mots.


Les systèmes additifs

Le système Egyptien : Chaque niveau de groupement possède un symbole : 10, 100, 1000 répété autant de fois que nécessaire pour atteindre la quantité désirée.

Le système Romain : En plus de l’addition de symbole s’ajoute la notation soustractive. Exemple : XIX pour 19

Le système Babylonien : Même principe que les égyptiens, avec un groupement par 60.

Le système Sino-japonais : Ajout d’une notation multiplicative. Exemple : pour 90 les idéogrammes correspondront à 9 x 10


Les systèmes de position

Le système Maya : Groupement par 20. Ce système ne possède que trois symboles dont la hauteur et la position change la valeur.

Le système décimal : La valeur de chaque chiffre varie selon sa position.


Passer d'un nombre K en base 10 à un nombre en base N

On divise K par N.
Exemple : On veut trouver 273 en base 5.
 
Nombre en base 10 vers un nombre en base N

On procède ainsi :
273 / 5
54 / 5
10 / 5
On obtient que 273 en base 10 = 2043 en base 5. Ce nombre est formé du quotient de la dernière division suivi du reste des divisions précédentes.


Passer d'un nombre K en base N à un nombre en base 10


Pour tout chiffre c de rang r dans K, on calcule c x Nr. K est la somme de tous les produits.
En clair, le chiffre des unités est multiplié par N0, le chiffre des dizaine est multiplié par N1 etc. Puis on trouve K en additionnant les produits obtenus avec chaque chiffre composant le nombre.

Si le nombre en base N = cdu, alors K= c x N² + d x N1 x u x N0

Exemple :
1245 = (1 x 53) + (2 x 52) + (4 x 51) + (5 x50)
= (1 x 125) + (2 x 25) + (4 x 5) + 1 = 197
On conclut que 1245 en base N = 197 en base 10.

53 = 125 52 = 25 51 = 5 50 = 1
1 2 4 5


Propriétés des nombres naturels


Multiples et diviseurs

Multiple : A est multiple de B s’il existe un nombre C tel que A = B x C
Diviseur : B est diviseur de A s’il existe un nombre C tel que B = A / C

Plus petit multiple commun (PPCM) : Le PPCM est le plus petit multiple commun à deux nombres. Exemple : PPCM (12 ; 30) = 60

Méthode : Décomposer les multiples et regarder le plus petit multiple que les deux nombres ont en commun.
Exemple : 12 x 4 = 60 et 30 x 2 = 60

Plus grand diviseur commun PGCD : LE PGCD est le plus grand diviseur commun à deux nombres. Exemple : PGCD (12 ; 30) = 6

Deux Méthodes possibles :

  Pour les petits nombres, écrire tous les diviseurs et regarder lequel est le plus grand.

  Pour les grands nombres, utiliser l’algorithme d’Euclide :
Exemple : Cherchons le PGCD de 8136 et 492
 
Divisions euclidiennes Quotient Reste
Diviser le plus grand nombre par le plus petit : 8136 / 492
 
16 264
Diviser le plus petit nombre de la division précédente par le reste trouvé : 492 / 264 1 228
Idem : 264 / 228 1 36
228 / 36 6 12
36 / 12 3 0
Recommencer jusqu’à obtenir un reste de 0. Le PGCD est le dernier reste non nul, ici 12.

Formule : PGCD (a, b) x PPCM (a, b) = a x b. Le PGCD de deux nombres a et b multiplié par le PPCM de a et b et égal au produit de a et b.

Nombres premiers entre eux : On dit que deux nombres sont premiers entre eux si ces deux nombres n’ont aucun diviseur commun autre que 1.


Les critères de divisibilité

Plutôt que de faire une division et de constater s’il y a un reste, certains nombres possèdent des critères de divisibilité.

Un nombre est multiple de / divisible par :
•    2 s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8.
•    3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
•    4 si les deux derniers chiffres qui le composent sont multiples de 4.
•    5 s’il se termine par 0 ou 5.
•    6 s’il est multiple de 2 et de 3.
•    9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
•    10 s’il se termine par 0.
•    11 si la différence (en valeur absolue) entre la somme de ses chiffres de rangs pairs et la somme des chiffres de rangs impairs est un multiple de 11.
Exemple : 547393 = (5+7+9) - (4+3+3) = 21 - 10 = 11
•    25 si les deux derniers chiffres qui le composent sont divisibles par 25 (25, 50, 75 ou 00)
•    125 si les trois derniers chiffres qui le composent sont divisibles par 125 (125, 250, 375, 500, 625, 750, 875, 000)

Remarque :
Pour savoir si un nombre A est divisible par 7, on prend le chiffre des unités, on le multiplie par 2, puis on soustrait le résultat au nombre des dizaines jusqu’à obtenir un nombre à deux chiffres. Si ce nombre est divisible par 7, alors A est divisible par 7.
Exemple :

Multiple divisible par 7
 

 
 






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